佐々木屋

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マイナス×マイナス=プラス

マイナス×マイナス=プラスの証明です。
数学を勉強した方なら、多分誰でも知っていることだと思いますが、数学を知らない方は多分知らないと思います。もし興味があったら読んでみて下さい。

小学生でも分かるような説明だと、一番てっとり早いのは時間、距離、速さで説明することです。「距離=時間×速さ」ですので、
 ・時間がマイナス → t時間前
 ・速さがマイナス → 速度sでバックしている
と考えると、距離は?

これは当然プラスですよね。動いた距離は過去であろうがバックであろうがプラスになることは容易に理解できます。但し、これは正式な証明ではありませんので、あくまで「小学生に説明するためのコラム」と捉えた方が良さそうです。


さて、この証明を始める前にある程度環などの線形代数空間を定める必要があります。複素数は少し難しいので整数や実数などの集合体を考えて下さい。

環Rにおける任意の元a、bにおいて、以下が成り立ちます

(−a)(−b)=ab

証明①

まず、任意の元a、bにおいて、以下が成立する。
 (−a)b=a(−b)=−ab ・・・①

分配法則より以下が成立する。

 ab+(−a)b=(a+(−a))b
     =0b
     =0 ・・・②

②の両辺に反数-abを加えると、

−ab+ab+(−a)b=−ab+0
   0+(−a)b=−ab+0
    (−a)b=−ab 

逆元の定義より

a+(−a)=(−a)+a=0
−a+(−(−a))=−(−a)+(−a)=0

よって、

−a+(−(−a))=0

逆元の定義より、

−(−a)=a ・・・③

ゆえに、

(−a)(−b)=−(−a)b ・・・①より
   =(−(−a))b ・・・①より
   = ab ・・・③より

証明②

−1 は極形式

−1=cosπ+isinπ

となる。よって、

(−1)×(−1)=(−1)^2
    =(cosπ+isinπ)^2
    =cos2π+isin2π ・・・ド・モアブルの定理
    =1+i×0
    =1


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